L’étude des tas de sable est une activité mathématique pour petits et grands. Les lycéens d’un club scientifique ont ainsi pu s’adonner à une activité de recherche qui les a menés vers les coniques et les courbes d’équidistance.

Dans le cadre du club scientifique du lycée Lavoisier de Mulhouse (Haut-Rhin), la question suivante a été proposée : une plaque étant posée sur un support, on y verse du sable jusqu’à saturation ; que peut-on dire de la forme du tas de sable ainsi obtenue ?

Sept élèves de première et terminale ont planché durant une année scolaire sur le sujet, sans l’épuiser. L’enseignant qui les encadrait n’en savait guère plus qu’eux. C’est la dynamique de ce travail exploratoire qui est présentée ici.

Des bissectrices de sable

Après avoir utilisé différentes plaques polygonales convexes et observé que les tas obtenus sont des polyèdres, les élèves ont lancé leurs recherches dans deux directions : comprendre comment se forme un tas de sable et étudier les faces des polyèdres ainsi obtenus.

Lorsque le tas est proche de la saturation et que le sable déborde de la plaque, les grains tombent vers le bord dont ils sont les plus proches. L’arête du tas de sable qui sépare deux bords est donc, en projection sur la plaque, équidistante de ces bords. On obtient une bissectrice. Cela permet de dessiner, et donc de prévoir, la forme du tas. Quant à l’angle que fait la pente de sable avec la base, il est constant ... Lire la suite