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Le ET et le OU à l'épreuve du quotidien

Patricia Lebrun

Les difficultés de la logique mathématique proviennent en partie de l'impression de familiarité avec les raisonnements de la vie courante. Le ET et le OU sont présentés ici à travers le dialogue de l'espiègle Lunelotte et de son professeur.

Un condensé de difficultés

Vous êtes professeur de mathématiques ou vous avez toujours rêvé de le devenir ? Alors ces trois assertions sont pour vous !

P: « Un produit est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul. »

P2 : « Pour tous nombres a et b, a × b = 0 équivaut à a = 0 ou b = 0. »

P3 : « Pour tous réels a et b, a × b ≠ 0 ? a ≠ 0 et b ≠ 0. »

Observez attentivement P1, P2 et P3. Elles constituent un terrain d’essai et de confirmation pédagogique privilégié. « Si et seulement si » et « équivalences », « quantificateurs » sous-jacents (explicités ou non), « négation », symbole d’« équivalence » (utilisé ou non) : toutes ces notions sont introduites et décortiquées pas à pas dans les deux volumes de Logique sans bosse, qui chacun comprend une bande dessinée et des fiches pédagogiques. Les deux BD mettent en scène Lunelotte, une élève fougueuse, et Pythaclide, son professeur.

Mais nos trois énoncés comportent en outre deux fois deux lettres, discrètes mais d’usage continuel : le ET et le OU, conjonctions de coordination de la langue française que les mathématiques nous obligent à distinguer de leur emploi habituel, et à redéfinir.

 

En classe avec Lunelotte

Suivons la tortue Lunelotte dans la résolution de l’équation x 2 = 9 (télécharger la planche). D’expérience, les enseignants savent que la première main levée dans la classe manquera la solution négative. La chute de la pomme sur le crâne de Lunelotte va la doter d’une bosse providentielle à plus d’un égard. Voyons les pages correspondantes de la bande dessinée, lisons-les à voix haute avec nos élèves en affublant les deux personnages de leur voix respectives. La pomme a permis à Lunelotte de récupérer la solution négative qu’elle allait omettre et l’a dotée d’une bosse qui la pose en outre à l’intersection ensembliste des animaux à bosse et des animaux à carapace.

Ô diagrammes de Venn ! La BD frappe l’imagination et fournit une première accroche tant formelle que visuelle. Les fiches A1 et A2 (et le livret du professeur) explicitent clairement la différence entre le ET et le OU du langage courant et celui de leur usage mathématique. Elles proposent des exercices variés, tant d’arithmétique que de géométrie élémentaire. Selon les niveaux, et notamment en seconde, on pourra introduire en plus les symboles d’intersection et de réunion, qui n’apparaissent pas dans le volume 1. Les fiches A3 et A4 approfondissent, en lien avec le ET et le OU, les notions de « complémentaire » et de « négation », d’« équations-produit » et de « systèmes d’équations ».

 

Pour des mises au point ponctuelles

Il est toujours fructueux de croiser les domaines et de mettre en lien des notions qu’une pédagogie trop linéaire risque de compartimenter. Dans ce cadre, on ouvrira la BD suite à une question posée ou à la reprise d’un contrôle.

L’équation x 2 = 9 peut être abordée dès la cinquième : il suffit d’avoir étudié les nombres relatifs et les carrés des entiers. En seconde, on a aussi fait l’expérience d’avoir « récupéré » durablement quelques élèves décrocheurs à travers cette séquence fantaisiste qui synthétisait des notions a priori rébarbatives et sans lien. N’attendons pas le chapitre dédié pour introduire des notions qui ne demandent qu’à s’entretenir : ce qui surgit à l’improviste nous l’apporte parfois sur un plateau !

Jusqu’en cours de terminale avancée, les deux volumes, Lunelotte et la Réciproque mystérieuse et Les Déductions du professeur Pythaclide, ainsi que le livre du professeur aideront à mettre en place l’ensemble des notions logiques indispensables à la rigueur de l’expression et des raisonnements.

Le livre du professeur est en accès libre sur http://www.tangente-education.com/TE_Logique.php