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Un résultat peut en cacher un autre !

Jean-Jacques Dahan

En scénarisant une notion classique avec un logiciel de géométrie dynamique, l'auteur a eu la surprise d'une belle découverte géométrique. La parole est laissée à Jean-Jacques Dahan, spécialiste en géométrie dynamique, pour son récit d'une petite erreur aux conséquences inattendues.

Enseigner le théorème de Thalès sous ses diverses formes ou versions peut apparaître comme une messe bien ritualisée. On n’imagine pas qu’un enseignant, au cours de la préparation d’une leçon intégrant ce théorème, puisse être amené à faire une découverte mathématique inattendue. Cette dichotomie « enseignement vs recherche » peut pourtant être brisée. Ce qui suit est une histoire vraie qui m’est arrivée alors que j’enseignais à l’IUFM de Toulouse à la fin des années 1990. Mes compétences anciennes dans l’utilisation des nouvelles technologies (calculatrices, logiciels de géométrie dynamique ou de calcul formel) m’ont conduit à m’occuper des formations des stagiaires certifiés ou agrégés de cet institut. En particulier pour la découverte et surtout pour l’utilisation pertinente de telles technologies dans leur enseignement. Dans ce cadre-là, un stagiaire étonné par les possibilités de la géométrie dynamique mais se sentant, à juste titre, incapable de scénariser ce qu’il était en train d’enseigner – c’est-à-dire de faire un plan détaillé du déroulement de la séance, en particulier en préparant les moments d’utilisation des technologies – s’est porté volontaire pour essayer d’utiliser la géométrie dynamique, à condition que je lui prépare un fichier prêt à être employé en classe. À l’époque, les stagiaires apprenaient à se servir de Cabri sous sa forme logicielle, mais aussi sous sa forme intégrée dans la calculatrice TI-92 (qui possédait une version rétroprojetable). Ce stagiaire m’a donc demandé de lui préparer « quelque chose » sur la réciproque du théorème de Thalès en utilisant la calculatrice. Et voici ce qui arriva.

 

Thalès impossible en géométrie dynamique ?

Sur une page de géométrie de la calculatrice, j’ai donc réalisé la figure classique que l’on aurait pu envisager sur papier. La géométrie dynamique permet, toutefois, de déplacer les éléments de la figure tout en gardant les propriétés définies lors de sa construction. On obtient donc véritablement une « figure » dans ce sens qu’une construction en géométrie dynamique contient implicitement tous les dessins que l’on aurait pu réaliser sur papier. J’ai donc construit deux demi-droites (D) et (D1) de même origine O, deux points B et C sur (D), un point B1 sur (D1). J’ai affiché les distances OB, OC et OB1 et j’ai fait calculer, par la calculatrice associée à cette page, le nombre x tel que

(ce qu’on appelait la quatrième proportionnelle).

J’ai ensuite construit le point C1 de (D1) tel que OC1 = x. Le but était, après avoir tracé les droites (BB1) et (CC1), de faire constater le parallélisme de celles-ci. L’avantage de la géométrie dynamique était de corroborer cette observation en faisant tourner les demi-droites autour de O, en déplaçant les points B, C ou B1.

Le point C1, placé à l’aide du rapport de Thalès, ne permet manifestement pas de vérifier la réciproque du théorème. Cette figure et les suivantes (sauf indication contraire) ont été réalisées avec TI-Nspire.

Une fois le schéma réalisé, j’eus l’impression que les droites obtenues n’étaient pas parallèles (situation reconstituée dans la figure où une parallèle à (BB1) en pointillés passant par C n’est pas superposée à (CC1)). Cela fut fort perturbant car l’expérience que j’avais de cette calculatrice ne me laissait pas augurer d’un bug aussi énorme. Il fallut donc essayer de comprendre.

J’essayai d’abord de modifier les positions des points libres B, C et B1, puis de vérifier les calculs, et enfin, de faire pivoter les demi-droites : rien n’y fit et cette impression de non-parallélisme perdurait. Plus grave que cela, lorsque je demandais à l’oracle du logiciel de tester le parallélisme de ces deux droites, la réponse était invariablement « droites non parallèles ». Toutes mes tentatives pour comprendre ce qui se passait restaient infructueuses et cela dura plusieurs jours. Je dois reconnaître qu’une attitude plus scientifique aurait dû me conduire à essayer de reproduire ce phénomène en réalisant une nouvelle figure, ce que je n’ai pas fait…

 

Un phénomène non prévu

Finalement, alors que je désespérais encore devant ce fichier qui me provoquait, je ne sais pourquoi, j’ai eu envie de translater les deux demi-droites en déplaçant leur origine commune, le point O. Horreur et soulagement ! Le point O se déplaçait, entraînant avec lui (D), mais (D1) ne bougeait pas. Mes deux demi-droites n’avaient pas la même origine car pour ma construction je n’avais pas cliqué exactement sur O pour l’origine de (D1). J’avais donc construit deux demi-droites qui semblaient avoir la même origine mais, à cause de la pixellisation de l’écran, on ne pouvait le percevoir. La réaction naturelle d’un enseignant dont le but est de modéliser une situation donnée et pas une autre eût été de redéfinir la position de la seconde origine sur O et tout aurait été réglé. C’est ce que j’effectuai bien plus tard et, effectivement, l’oracle déclara le parallélisme retrouvé.

Ce que je fis relève plutôt de la curiosité du chercheur qui voit de la généralisation même où l’on n’en cherche pas : j’ai écarté les deux origines et là j’ai constaté que le non-parallélisme était flagrant. Mais que faire de cela ?

Une nouvelle configuration.

Le déplacement de C le long de la demi-droite (D) permet de visualiser le déplacement de (CC1) suivant des directions jamais parallèles. L’affichage du lieu de ces droites quand C se déplace le long de (D) laisse apparaître un ensemble de droites très esthétique, et surtout une enveloppe (E) qui rappelle une conique.

 

La conique mystérieuse (figures réalisée avec Cabri 2 Plus).

La richesse des outils de l’environnement Cabri permet de construire une conique passant par cinq points de cette enveloppe. La courbe vient alors se superposer à (E) quels que soient les points choisis sur (E). Beaucoup mieux que cela : si l’on cache l’enveloppe et que l’on approche le curseur de la conique, le logiciel reconnaît une parabole.

Comment interpréter ce résultat ? Par construction, les droites (AA1), (BB1) et (CC1) sont trois tangentes à cette parabole. C’est aussi le cas des droites (AB) et (A1B1), qui correspondent toutes les deux à une position du point « glissant » C sur (AB).

Finalement une lecture inversée de ce que l’on vient d’obtenir fournit le théorème suivant :

Si (D) et (D1) sont deux tangentes (en rouge sur la figure) à une parabole, coupées respectivement par trois autres tangentes (en vert) respectivement en A, B, C et A1, B1, C1,

alors on a

. 

Les mathématiques réservent décidément toujours leur lot de surprises !

 

Cet article est issu d'une conférence donnée en juillet 2019 à ACA Montréal. 

 


RÉFÉRENCES

- Dossier « La saga des grands théorèmes : le théorème de Thalès ». Tangente 167, 2015.
- Dossier « Les lieux géométriques ». Tangente 176, 2017.
- Dossier « Enveloppe d'une famille de droites ». Tangente 187, 2019.